たけしのコマ大数学科

偶然見たけど、おもしろかったです。今日の問題は
「0から1億までに出てくる整数の和を求めよ」でした*1。
たとえば11は「1＋1」、25は「2＋5」と考えます。
この方式で、1億まで考えるのです。私が考えたのは以下のやりかた。

0〜9までの和は0＋1＋･･･＋9＝45（仮にAとする）。
次に10〜19までの和は1×10＋A。20〜29までの和は2×10＋A。同様に、90〜99までの和は9×10＋A。
つまり0〜99までの和は（1＋2＋･･･＋9）×10＋A×10＝A×10＋A×10＝20A（仮にBとする）。
次に100〜199までの和は1×100＋B。200〜299までの和は2×100＋B。同様に、900〜999までの和は9×100＋B。
つまり0〜999までの和は（1＋2＋･･･＋9）×100＋B×10＝A×100＋20A×10＝300A（仮にCとする）。
次に1000〜1999までの和は1×1000＋C。2000〜2999までの和は2×1000＋C。同様に、9000〜9999までの和は9×1000＋C。
つまり0〜9999までの和は（1＋2＋･･･＋9）×1000＋C×10＝A×1000＋300A×10＝4000A。
以上の例から、0から99999999までの和は80000000A（＝3600000000）と推測される。
問題は1億までなので、1を足した「3600000001（36億1）」が答え。

間違ってはいませんでした。東大生チームと同じ考え方。
ですが、もっと簡単な導き方がありました。

1億の一つ手前の数（99999999）までで考える。
一番大きな数は99999999で、一番小さな数は0。この二つの数字の和は99999999。
二番目に大きな数は99999998で、二番目に小さな数は1。この和も99999999。
つまり、99999999が5千万個あるのと同じである。
よって（9＋9＋9＋9＋9＋9＋9＋9）×50000000＝72×50000000＝3600000000。
そこに1を足して「36億1」が導き出される。

うひゃー。最大と最小を足すってのはナルホドだなぁ。
芸人チームの人が「平均は36なんですよね」ってところまで見つけてたんだけど
それを1億倍しないで5千万倍してたから「18億1」って答えになっちゃって
非常に惜しかった。
こういう頭の体操的な番組は大好きです。忘れなかったらまた見よう。

*1:どうも「1から1億まで」だったみたいです